HOGYAN ELŐZZÜK MEG A JÁRVÁNYOKAT?

Képzeljük el, hogy van egy hatalmas birkanyájunk, amelyiknek minden tagja érzékeny valamilyen fertőző betegségre. Szerencsére a betegség ellen van vakcina. Elkezdjük beoltani a nyájunkat, de a végén észrevesszük, hogy egy birka kimaradt. Érdemes-e azzal vesződnünk, hogy kinyomozzuk, melyik birka volt az? Nem feltétlenül, hiszen ha esetleg meg is betegszik, a többi birkát nem tudja megfertőzni, mert azokat mind vakcináltuk. Mi van akkor, ha két birkát hagytunk ki? Ha hármat, négyet, és így tovább? Ha elég nagy a birkanyájunk és néhány birkát kihagyunk, akkor még mindig nagyon kicsi az esélye annak, hogy egy fertőzött birka pont egy oltatlan birka mellé kerül és meg tudja fertőzni. Összességében a nyájunk immunis lesz, és egy fertőzés nem tud elterjedni. Meddig mehetünk el? Kihagyhatunk-e mondjuk 10%-ot?

Ahhoz, hogy ezt a kérdést megválaszoljuk, meg kell ismerkednünk az elemi reprodukciós szám fogalmával. Ennek jele hagyományosan R₀, és azt fejezi ki, hogy egy fertőző egyed várhatóan hány másodlagos fertőzést generál összesen egy teljesen fogékony populációban. Ha például R₀=3, akkor az első fertőzött birka 3 másikat fog megfertőzni. Ha elég nagy a nyáj és a birkák véletlenszerűen keverednek, akkor ez a 3 birka jó eséllyel nem fog egymással találkozni és így további 9 fertőzést okoznak, azok 81-et és így tovább. Természetesen ez csak a járvány kezdetén lesz igaz, amíg a fertőző egyedek csak egészségesekkel találkoznak. Vegyük észre, mennyire fontos az, hogy R₀>1 vagy R₀<1 ( R₀ egy átlagos érték, így nem feltétlenül egész szám). Ha R₀<1, akkor a betegség gyorsan kihal. Míg ha R₀>1, akkor a fertőzések száma hamar megtöbbszöröződik és járvány tör ki. R₀=1 tehát egy kritikus érték (matematikailag ezt bifurkációs pontnak nevezzük), és a végkimenetelt meghatározza, hogy ennek a kritikus értéknek melyik oldalán vagyunk.

A reprodukciós szám a legalapvetőbb fogalom a matematikai járványtanban. Minden új matematikai modell esetén az az első, hogy ezt kiszámoljuk. Heesterbeek holland professzor PhD-értekezésének csupán ennyi volt a címe: R₀.

Most nézzük meg, hogyan módosítja a reprodukciós számot, ha a birkanyájunk egy részét immunissá tesszük. A példa kedvéért tegyük fel ismét, hogy R₀=3, és ez úgy áll elő, hogy egy fertőzött birka 30 másikkal kerül közelebbi kapcsolatba, és minden ilyen találkozás esetén 10% a fertőzés esélye. Világos, hogy ha a nyáj kétharmada immunis, akkor a 30 találkozásból 20 esetben immunissal találkozik a fertőző birka, így a potenciális fertőzési alkalmak száma csupán 10, ennek 10%-a 1. Máris ott vagyunk, hogy reprodukciós szám 1-re csökkent. Ha kétharmad fölé emeljül az immunitási arányt, a reprodukciós szám 1 alá megy és nem tud járvány kialakulni. Általánosan, tegyük fel, hogy a birkák V részét immunissá tettük, vagyis (1-V) arányban vannak a megfertőzhető egyedek. Ekkor az új reprodukciós számunk

R_v = R₀ × (1-V) .

A cél a fentiek fényében R_v<1,>

1-1/R₀ <>

Ez az egyszerű összefügés mondja meg, egy populáció mekkora részét kell immunissá tenni, hogy ne törjön ki járvány (ami nem teljesen ugyanaz, mint a szükséges oltottsági arány, ha a vakcina hatékonysága nem 100%-os). Ezt „herd immunity”-nek nevezik (közösségi immunitás), amikor egy populáció összességében védett a betegséggel szemben, annak ellenére, hogy nem minden egyede az, és természetesen nem csak birkanyájra lehet alkalmazni. Az alábbi táblázat néhány emberi betegség reprodukciós számának becslését és a szükséges kritikus immunitási arányt tartalmazza.

Betegség	Reprodukciós szám	Kritikus immunitási arány
torokgyík	6-7	83-86%
kanyaró	12-18	92-94%
mumpsz	4-7	75-86%
szamárköhögés	12-17	92-94%
gyermekbénulás	5-7	80-86%
rózsahimlő	5-7	80-86%
feketehimlő	5-7	80-86%
spanyolnátha	2-3	50-67%

Kérdés, hogy ez működik-e a gyakorlatban? Részben igen, részben nem. A szörnyű feketehimlőt sikerült felszámolni, pedig nyilván nem volt a Föld összes lakosa beoltva. Az oltási program előtti évben, 1967-ben még 10 millió ember fertőzödött meg ezzel a szörnyű betegséggel, 1975. óta pedig senki. A feketehimlő felszámolásáról itt olvasható egy érdekes cikk. Hasonlóan a gyermekbénulás is lényegében eltűnt a fejlett országokból. A kanyaró esetében a vakcinaellenes hisztériának és vallási okoknak köszönhetően az oltottsági arány több helyen is a kritikus szint alá csökkent, így évtizedek után ismét több fejlett országban kanyarójárvány tört ki, halálos áldozatokkal. Ugyanakkor a fenti kis számolásunk azon az egyszerűsítő feltételezésen alapult, hogy a populációnk homogén (mindenki egyforma), és az egyedek véletlenszerűen keverednek. A világban pedig sok heterogenitás található. Ezek figyelembevételére már komolyabb modellekre van szükség.

Az első matematikus, aki járványokkal foglalkozott, Daniel Bernoulli volt 1766-ban a himlő kapcsán írt dolgozatával, amivel másfél évszázaddal megelőzte korát. A 20. század elején a malária elleni munkásságáért Nobel-díjban részesült Ronald Ross ösztönözte a matematikai módszerek használatát, majd az ő kollégái, Kermack és McKendrick alkották meg 1927-ben a nevezetes SIR-modellt, amely a ma is használt kompartment-modellek jó részének az őse. Végezetül egy kis etimológia: a vakcina szó eredete a latin vacca (tehén). Edward Jenner vette észre, hogy a tehénhimlőn átesett fejőnők védettséget szereztek és nem kapták el a feketehimlőt. A szintén latin immunis szó pedig eredetileg a katonai szolgálat alól való mentességet jelentette.